선택 공리

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 약화된 형태
- 2.2. 대역적 선택 공리
3. 성질
4. 역사
5. 비판과 수용
참조

1. 개요

선택 공리는 집합론의 기본 공리 중 하나로, 공집합이 아닌 집합들의 모임에 대해 각 집합에서 원소를 하나씩 선택하는 함수, 즉 선택 함수가 존재한다는 것을 의미한다. 이 공리는 정렬 정리, 초른의 보조정리와 동치이며, 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 한다. 선택 공리를 통해 존재성을 증명하지만, 구체적인 대상을 정의할 수 없는 경우가 있어 비판을 받기도 한다. 19세기 말부터 암묵적으로 사용되었으며, 20세기 초 에른스트 체르멜로에 의해 명시적으로 도입되었다. 현재는 대부분의 수학자들이 유효한 원리로 받아들이지만, 선택 공리의 사용에 대한 논쟁은 계속되고 있다.

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선택 공리
선택 공리
종류	수학의 공리
분야	집합론
역사
제안자	에른스트 체르멜로
제안 시기	1904년
내용
설명	임의의 집합들의 모임에 대하여, 각 집합에서 원소를 하나씩 선택하여 새로운 집합을 만들 수 있다는 공리
다른 이름	선택의 공리 체르멜로의 공리
수학적 속성
독립성	ZF 집합론으로부터 독립적
동치 명제	정렬 정리 하우스도르프 극대 원리 치른의 보조정리 투르크의 정리 테우허 렘케의 정리 부울 소 아이디얼 정리 티호노프 정리 스톤-체흐 콤팩트화 한-바나흐 정리 크룰 정리 바나흐-타르스키 역설 무한 데데킨트 유한 집합의 존재 수학적 귀납법을 통한 증명
기호
기호	AC

2. 정의

집합족 $\{S_i\}_{i\in I}$ 위의 '''선택 함수'''는 다음 성질을 만족시키는 함수 $f$ 이다.

: $f\colon I\to\bigcup_{i\in I}S_i$

: $\forall i\in I\colon f(i)\in S_i$

만약 $\varnothing\in\{S_i\}_{i\in I}$ 라면, $\{S_i\}_{i\in I}$ 는 선택 함수를 가질 수 없다. '''선택 공리''' $\mathsf{AC}$ 에 의하면, 공집합을 포함하지 않는 모든 집합족은 선택 함수를 갖는다.

간단하게 말하면, 선택함수는 공집합이 아닌 집합들의 모임 ''X''에 정의된 함수 ''f''이며, ''X''의 모든 집합 ''A''에 대해 ''f''(''A'')는 ''A''의 원소이다.

형식적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $\forall X \left[ \varnothing \notin X \implies \exists f \colon X \rightarrow \bigcup_{A\in X} A \quad \forall A \in X \, ( f(A) \in A ) \right] \,.$

선택 공리의 부정은 선택 함수가 없는 공집합이 아닌 집합 모음의 존재로 표현할 수 있다.

공집합이 아닌 집합의 족이 주어지면, 그들의 데카르트 곱은 공집합이 아닌 집합이다.

2. 1. 약화된 형태

임의의 기수

\kappa

에 대하여,

\mathsf{AC}_\kappa

는 "크기가

\kappa

이하인, 공집합을 포함하지 않는 집합족은 선택 함수를 갖는다"는 명제이다. 특히,

\kappa=\omega

일 때

\mathsf{AC}_\omega

를 '''가산 선택 공리'''(可算選擇公理, axiom of countable choice^영어)라고 한다.^[39]

임의의 집합

S

및 이항 관계

R\subseteq S^2

가 주어졌고, 또한 이들이 다음 성질들을 만족시킨다고 하자.

$S\ne\varnothing$
임의의 $s\in S$ 에 대하여, $(s,t)\in R$ 인 $t\in S$ 가 존재한다.

그렇다면, '''의존적 선택 공리'''(依存的選擇公理, axiom of dependent choice^영어)

\mathsf{DC}

에 따르면 다음 성질을 만족시키는 열이 존재한다.

:

s\colon\mathbb N\to S

:

i\mapsto s_i

임의의 $i\in\mathbb N$ 에 대하여, $(s_i,s_{i+1})\in R$

가산 선택 공리는 구성적 수학에서 일반적으로 사용되지만, 그 사용에 대한 의문도 제기되었다.^[16] 선택 공리와는 동치가 아니지만 밀접하게 관련된 몇 가지 약한 명제가 있다. 한 가지 예는 종속 선택 공리(DC)이다. 더 약한 예로는 가산 선택 공리(AC_ω 또는 CC)가 있는데, 이는 공집합이 아닌 가산 집합의 집합에 대해 선택 함수가 존재한다고 명시한다. 이러한 공리는 초급 수학적 분석에서 많은 증명에 충분하며, 전체 선택 공리로부터 반증 가능한 일부 원리, 예를 들어 모든 실수의 르베그 가측성과 일치한다.

'''종속 선택 공리'''는 집합론의 선택 공리의 약형이다. 일반적으로 ZFC 공리계와 같은 공리적 집합론에서 사용된다. 종속 선택 공리는 다음과 같이 진술된다.

임의의 공집합이 아닌 집합 X와, X의 임의의 공집합이 아닌 부분집합 A에 대해, A의 원소를 선택하는 방법(즉, x ∈ A인 x를 선택하는 것)을 반환하는 함수 f가 주어졌을 때, X의 가산 수열 (x_n)_{n ∈ ω}이 존재하여 모든 n ∈ ω에 대해 x_n+1 ∈ f({x_n, x_n+1, ...})이 성립한다.

종속 선택 공리는 선택 공리보다 약한 명제이며, 선택 공리에서 종속 선택 공리를 유도할 수 있지만 그 역은 성립하지 않는다. 종속 선택 공리가 성립하지 않는 모델이 존재한다. 그러나 종속 선택 공리는 선택 공리와 많은 응용 분야를 공유하고 있다. 특히, 종속 선택 공리는 바나흐-타르스키 역설과 같은 선택 공리의 "병리학적" 결과가 없는, 즉 가측 집합이 아닌 집합이 존재하지 않는 것을 보장하기 때문에 해석학에서 자주 사용된다.

집합족의 요소를 특정 유한 집합으로 제한한 공리도 연구되고 있다.^[40] 즉,

'''AC_n : n개의 원소를 가진 집합으로 이루어진 임의의 집합족은 선택 함수를 갖는다.'''

라는 형태의 공리이다.

이 종류의 공리에 대해 다음과 같은 사실들이 알려져 있다(모두 ZF 공리계를 가정).

AC₂ $\Rightarrow$ AC₄
$n \neq 1,2,4$ 라면 AC₂ $\nRightarrow$ AC_n
각 $n \in N$ 에 대해 AC_n이 성립한다고 가정하더라도, "유한 집합으로 이루어진 임의의 집합족은 선택 함수를 갖는다"(유한 집합에 대한 선택 공리)를 증명할 수 없다.
ZF에서는 AC₂를 증명할 수 없다.

AC₂

\Rightarrow

AC₄를 보이기 위해서는, 4개의 원소를 가진 집합으로 이루어진 집합족

F

에 선택 함수가 존재함을 보이면 된다. 먼저

\{\{a,b\}:a,b \in \bigcup F , a\neq b\}

에 AC₂를 적용하여 선택 함수

g

를 얻는다. 다음으로

g

를 사용하여

F

의 각 원소

\rm A

에서 원소를 하나씩 선택하는 것을 생각한다. 집합

{\rm B}

를

\{\{a,b\}:a,b \in {\rm A} , a\neq b \}

라고 하면,

{\rm B}

는

_4C_2=

6개의 원소를 가진 집합이 된다.

\rm A

의 원소

a

에 대해,

q(a) = |\{b \in B : g(b) = a \}|

라는 함수를 정의하고,

q(a)

의 최솟값을

m

이라고 하자. 집합

{\rm M}

을

\{a \in {\rm A} : q(a) = m\}

이라고 하면,

{\rm A}

는 4개의 원소를 가진 집합이므로

{\rm M}

의 농도는

1, 2, 3, 4

중 하나이지만,

|\rm M|=4

라고 가정하면,

4q(a)=\sum_{a\in \rm A}q(a)=|\rm B|=6

이 되어 모순이 발생한다.

|\rm M| = 1

인 경우에는,

{\rm M}

의 원소를 선택 함수

f({\rm A})

의 값으로 하면 된다.

|M| = 2

인 경우에는,

f({\rm A}) = g({\rm M})

으로 한다. 마지막으로

|M| = 3

인 경우에는,

{\rm A} \setminus {\rm M}

의 원소를

f({\rm A})

의 값으로 하면 된다.

선택 공리보다 약한 다른 선택 공리로는 부울 소 아이디얼 정리 및 균일화 공리 (집합론)가 있다. 전자는 ZF에서 타르스키의 1930년 초여과기 보조정리: 모든 여과기는 일부 초여과기의 부분 집합이라는 것과 동치이다.

서수 매개변수 α ≥ ω+2가 주어지면, 랭크가 α 미만인 모든 집합 ''S''는 정렬 가능합니다. 서수 매개변수 α ≥ 1이 주어지면, 하토그스 수가 ω_α 미만인 모든 집합 ''S''는 정렬 가능합니다. 서수 매개변수가 증가함에 따라, 이는 전체 선택 공리에 점점 더 가까워진다.

2. 2. 대역적 선택 공리

집합론의 언어

\mathcal L_\in

에 1항 연산

\tau

를 추가한다. 이 언어

\mathcal L_{\in,\tau}

에서, '''대역적 선택 공리'''(大域的選擇公理, axiom of global choice^영어)는 다음과 같은 문장이다.

:

\forall x\colon\left(\exists y\colon y\in x\implies \tau(x)\in x\right)

이 경우,

\tau

를 '''선택 연산'''(choice operator^영어)이라고 한다.

대역적 선택 공리는 선택 공리를 함의하며, ZF + 대역적 선택 공리는 ZFC의 보존적 확장이다.

3. 성질

집합족 $\{S_i\}_{i\in I}$ 위의 '''선택 함수'''(選擇函數, choice function^영어)는 다음 성질을 만족시키는 함수 $f$ 이다.

: $f\colon I\to\bigcup_{i\in I}S_i$

: $\forall i\in I\colon f(i)\in S_i$

만약 $\varnothing\in\{S_i\}_{i\in I}$ 라면, $\{S_i\}_{i\in I}$ 는 선택 함수를 가질 수 없다. '''선택 공리'''에 의하면, 공집합을 포함하지 않는 모든 집합족은 선택 함수를 갖는다.

체르멜로-프렝켈 집합론(ZF)이 일관적이라면, 선택 공리는 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적이다. 즉, 다음이 성립한다.

: $\mathsf{ZF}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZF})\iff\operatorname{Con}(\mathsf{ZFC})$

: $\mathsf{ZF}\vdash\operatorname{Con}(\mathsf{ZF})\iff\operatorname{Con}(\mathsf{ZF\lnot C})$

구성 가능 전체에서는 선택 공리가 성립한다.

: $\mathsf{ZF}\vdash(V=L\implies\mathsf{AC})$

즉, 체르멜로-프렝켈 집합론의 모형 $M$ 이 주어졌을 때, $M$ 속의 구성 가능 전체 $L^M\subseteq M$ 은 ZFC의 모형을 이룬다. 반면, 강제법을 사용하여 선택 공리가 성립하지 않는 모형을 구성할 수 있다.

체르멜로-프렝켈 집합론에서 다음 명제들은 선택 공리를 함의한다.

구성 가능성 공리 $V=L$
일반화 연속체 가설

체르멜로-프렝켈 집합론으로는 다음 정리를 증명할 수 없지만, 선택 공리를 추가하면 증명할 수 있다.

괴델의 완전성 정리
모든 체는 대수적 폐포를 갖는다.
$\mathbb R$ 와 $\mathbb C$ 는 덧셈군으로서 서로 동형이다.
(닐센-슈라이어 정리) 자유군의 모든 부분군은 자유군이다.
한-바나흐 정리
베르 범주 정리
바나흐-타르스키 역설
르베그 가측 집합이 아닌 실수 집합이 존재한다.

하지만 선택 공리를 의존적 선택 공리(또는 가산 선택 공리)로 약화시킨다면, 이들 가운데 상당수는 증명 불가능하다. 예를 들어, 의존적 선택 공리는 르베그 가측 집합이 아닌 실수 집합의 존재를 증명할 수 없다.^[42] 가산 선택 공리만으로 대부분의 해석학을 전개할 수 있다.

3. 1. 함의 관계

체르멜로-프렝켈 집합론에서 선택 공리는 의존적 선택 공리를 함의하며, 의존적 선택 공리는 가산 선택 공리를 함의한다.

:

\mathsf{ZF}\vdash\left(\mathsf{AC}\implies\mathsf{DC}\implies\mathsf{AC}_\omega\right)

체르멜로-프렝켈 집합론에서는 유한 개의 선택은 가능하지만, (체르멜로-프렝켈 집합론이 무모순적이라면) 무한 개의 선택은 불가능하다.

3. 2. 동치인 명제

체르멜로-프렝켈 집합론에서 선택 공리는 다음 명제들과 동치이다. 즉, 다음 명제 중 하나를 가정하면 선택 공리를 증명할 수 있고, 반대로 선택 공리를 가정하면 다음 명제를 모두 증명할 수 있다.

초른 보조정리
정렬 정리
티호노프 정리
(타르스키 정리, Tarski theorem^영어) 임의의 무한 기수 $\kappa$ 에 대하여, $\kappa=\kappa^2$ 이다.^[41]
(기수의 비교 가능성) 임의의 두 기수 $\kappa_1$ , $\kappa_2$ 에 대하여, $\kappa_1=\kappa_2$ 이거나, $\kappa_1<\kappa_2$ 이거나, $\kappa_1>\kappa_2$ 이다.
(타이히뮐러-투키 보조정리, Teichmüller–Tukey lemma^영어) 공집합이 아닌 모든 유한 지표 집합족은 ( $\subseteq$ 에 따른) 극대 원소를 갖는다.
모든 벡터 공간은 기저를 갖는다.
자명환이 아닌 (단위원을 갖는) 환은 극대 아이디얼을 갖는다.
망각 함자 $\operatorname{Grp}\to\operatorname{Set}$ 의 상은 공집합이 아닌 모든 집합의 모임이다.
(무한군에 대한) 라그랑주 정리 (군론)
모든 연결 그래프는 생성나무를 갖는다.
정렬 가능 정리: 임의의 집합은 정렬 가능하다.
초른의 보조정리: 순서 집합에서, 임의의 전순서부분 집합이 유계라면, 극대 원소가 존재한다.
튜키의 보조정리: 공집합이 아닌 임의의 집합족은 포함 관계에 관한 극대 원소를 가진다.
비교 가능 정리: 임의의 집합의 농도는 비교 가능하다.
직적 정리: 무한개의 공집합이 아닌 집합의 직적은 공집합이 아니다.
오른쪽 역사상의 존재: 전사는 오른쪽 역상을 가진다.
쾨니히 정리: 농도가 작은 집합의 직합보다, 농도가 큰 집합의 직적의 농도가 더 크다.
벡터 공간에서의 기저의 존재: 모든 벡터 공간은 기저를 가진다.
티호노프의 정리: 콤팩트 공간의 임의 개수의 곱공간은 콤팩트가 된다.
크룰의 정리: 단위원을 갖는 환은 극대 아이디얼을 가진다.
'''선택 함수(Choice function)'''를 사용하여 표현: {''A''_''λ''}_{''λ''∈''Λ''}를 모두 공집합이 아닌 집합의 족이라고 하면, 이들의 직적도 공집합이 아니다.

:

\left(\forall \lambda \in \Lambda \right)\left[A_{\lambda} \neq \emptyset \right]\implies \textstyle\prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \neq \emptyset.

선택 공리 또는 그와 동치인 명제를 적용하면 다음을 보일 수 있다.

한-바나흐 정리
하우스도르프의 역설
바나흐-타르스키 정리
가산 집합의 가산 개의 합은 가산이다.
임의의 무한 집합은 가산 집합을 포함한다.
르베그 비가측 집합의 존재
임의의 필터는 극대 필터로 확장될 수 있다.
모든 체에는 대수적 폐포가 존재한다.

3. 3. 선택 공리를 함의하는 명제

임의의 집합 ''X''가 주어졌을 때, 공집합이 ''X''의 원소가 아니고 ''X''의 원소들이 쌍별로 서로소이면, ''X''의 임의의 원소와 교집합했을 때 정확히 하나의 원소를 포함하는 집합 ''C''가 존재한다.^[6] 이는 집합의 분할 ''X''에 대해 분할의 각 부분에서 정확히 하나의 원소를 포함하는 ''X''의 부분 집합 ''C''의 존재를 보장한다.

또 다른 동등한 공리는 다음과 같다.

: 임의의 집합 ''A''에 대해, ''A''의 멱집합(공집합 제외)은 선택 함수를 갖는다.

이는 다음과 같이 더 간결하게 표현할 수 있다.

: 모든 집합은 선택 함수를 갖는다.^[7]

이는 다시 다음과 동등하다.

: 임의의 집합 ''A''에 대해, ''A''의 공집합이 아닌 임의의 부분 집합 ''B''에 대해, ''f''(''B'')가 ''B''에 속하도록 하는 함수 ''f''가 존재한다.

4. 역사

19세기 말까지 선택 공리는 공식적으로 명시되지는 않았지만, 수학자들 사이에서 암묵적으로 사용되었다. 예를 들어, 집합 $X$ 가 공집합이 아닌 집합만을 포함한다고 했을 때, 수학자들은 "모든 $X$ 에 포함된 (집합) $s$ 에 대해, $F(s)$ 를 $s$ 의 원소라고 하자"라고 기술하곤 했다. 일반적으로 (함수) $F$ 가 선택 공리 없이 존재할 수 있음을 증명하기란 불가능했고, 체르멜로 이전까지는 이를 심각한 문제로 여기지 않았다.

게오르크 칸토어는 선택 공리와 동치인 정렬 정리가 증명이 필요 없을 정도로 자명한 "사고 법칙"(Denkgesetz|뎅크게제츠^de)이라고 여겼다. 그러나 다른 수학자들은 이 "사고 법칙"에 대해 회의적이었다.

체르멜로의 정렬 가능 정리 증명에 반론하는 과정에서 에밀 보렐, 르네 루이 베르, 앙리 르베그, 버트런드 러셀 등은 선택 공리의 존재를 깨닫고 새로운 공리로 인식하게 되었다.

1904년 에른스트 체르멜로는 정렬 정리를 보다 자명한 원리로부터 유도하기 위해 선택 공리를 도입하고, 이를 통해 정렬 정리를 증명하였다.^[43]

1923년 다비트 힐베르트는 일종의 선택 연산을 포함한 논리 체계를 제시하였다.^[44]^[45] 1924년 알프레트 타르스키는 선택 공리와 관련된 정리를 출판하려 했으나 심사 과정에서 거부당했고, 결국 다른 저널에 논문을 출판하였다.^[41]

쿠르트 괴델과 폴 코헨은 ZF(체르멜로-프렝켈 공리계)에서 선택 공리가 독립적이라는 것(ZF에 선택 공리를 더해도 모순이 없지만, ZF로부터 선택 공리를 증명할 수 없다)을 증명했다.

1938년 쿠르트 괴델은 내부 모형 이론을 사용하여 선택 공리가 체르멜로-프렝켈 집합론과 일관적임을 보였고,^[48]^[49] 폴 코언은 강제법을 사용하여 선택 공리의 부정이 체르멜로-프렝켈 집합론과 일관적임을 보였다.

의존적 선택 공리는 1942년 파울 베르나이스가 도입하였다.^[50]

ZF에 일반 연속체 가설을 더하면 선택 공리를 증명할 수 있다는 사실은 1926년 알프레드 타르스키 등이 제시했지만 증명은 소실되었고, 1943년 바츠와프 시에르핀스키가 재발견하여 1947년 출판했다.

현재까지도 많은 수학자들이 선택 공리에 대해 회의적인 입장을 보인다. 1977년 미국 수학자 제리 로이드 보나는 이에 대해 다음과 같이 농담했다.

이는 세 명제가 체르멜로-프렝켈 집합론에서 서로 동치이지만 직관적으로는 그 참·거짓 여부가 모순되게 보인다는 것에 대한 농담이다.

5. 비판과 수용

에른스트 체르멜로가 정렬 정리를 증명하기 위해 선택 공리를 도입한 이후,^{^[43]} 이에 대한 비판과 수용에 관한 논의가 이어졌다.

19세기 말까지 선택 공리는 명시되지는 않았지만, 수학자들 사이에서 암묵적으로 사용되었다. 예를 들어, 공집합이 아닌 집합들로 이루어진 집합 X가 있을 때, "모든 X의 원소 s에 대해 F(s)를 s의 원소 중 하나로 하자"와 같이 정의하는 방식이었다. 하지만 선택 공리 없이는 이러한 함수 F의 존재를 증명하는 것은 일반적으로 불가능했고, 체르멜로 이전까지는 이 점이 간과되었다.

선택 공리가 필요한지에 대한 문제는 집합의 구성 방법에 따라 달라진다. 유한 집합의 경우 선택 공리는 다른 집합론 공리들로부터 유도될 수 있다. 예를 들어, 각 상자에 적어도 하나의 물건이 있을 때, 각 상자에서 물건을 하나씩 선택하는 과정을 유한 번 반복하여 선택 함수를 구성할 수 있다. 하지만 무한 집합의 경우에는 이러한 방식이 적용되지 않는다.

게오르크 칸토어는 선택 공리와 동치인 정렬 정리가 자명한 "사고 법칙"이라고 여겼지만,^{^[43]} 다른 수학자들은 이에 회의적이었다. 쾨니그 줄러는 정렬 정리를 반증했다고 발표했지만, 곧 펠릭스 하우스도르프가 오류를 지적했다.

다비트 힐베르트는 선택 연산을 포함한 논리 체계를 제시했고,^{^[44]}^{^[45]} 니콜라 부르바키도 집합론 교재에서 선택 연산을 사용했다.^{^[46]} 알프레트 타르스키는 선택 공리와 관련된 정리를 발표하려 했으나, 심사 과정에서 "자명한 두 명제의 동치는 출판 가치가 없다"는 평가를 받기도 했다.^{^[47]}^{^[41]}

쿠르트 괴델은 내부 모형 이론을 통해 선택 공리가 체르멜로-프렝켈 집합론과 일관적임을 보였고,^{^[48]}^{^[49]} 폴 코언은 강제법을 사용하여 선택 공리의 부정이 체르멜로-프렝켈 집합론과 일관적임을 보였다.

선택 공리는 직관에 반하는 결과를 낳기도 한다. 바나흐-타르스키 역설은 3차원 구를 유한 개의 조각으로 분해하여 회전과 평행이동만으로 원래와 같은 부피의 두 개의 구를 만들 수 있다는 내용이다.^{^[11]} 이는 선택 공리를 사용하여 구성된 비가측 집합을 이용한 결과이다.

이러한 역설적인 결과에도 불구하고, 대부분의 수학자들은 선택 공리를 유효한 원리로 받아들인다. 그러나 선택 공리와 논리적 동치인 정리는 주목할 만하며, 선택 공리가 거짓임을 필요로 하는 결과를 찾으려는 노력도 이루어지고 있다.

선택 공리와 모순되지만 ZF와는 모순되지 않는 명제들도 발견되었다. 결정성 공리는 그중 하나이며, 무모순성 증명에 사용되기도 한다.

참조

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_[45] 논문 Über das Unendliche http://resolver.sub.[...] 2016-08-05
_[46] 서적 Éléments de mathematique. Théorie des ensembles. Chapitre 1. Description de la mathématique formelle Hermann et compagnie 1954
_[47] 논문 A system of axioms of set theory for the rationalists http://www.ams.org/n[...] 2006-02
_[48] 논문 The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis 1938
_[49] 서적 The Mathematician's Brain https://archive.org/[...] Princeton University Press 2007
_[50] 논문 A system of axiomatic set theory. Part III. Infinity and enumerability. Analysis 1942-06
_[51] 서적 Handbook of analysis and its foundations http://www.math.vand[...] Academic Press 2015-01-04

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